第30章 你是要求签名吗 (第2/5页)
'(x)=f(x)。
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与xΔx之间,可由定积分中的中值定理推得,当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a),f(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证得Φ'(x)=f(x),故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以f(a)=c
于是有Φ(x)f(a)=f(x),当x=b时,Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
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