我给你答案(1 / 2)

从今往后 灵遁者 1621 字 4个月前

很多时候,我们遇到问题,总会歇斯底里道:“到底能不能,你给我答案!你证明给我看!”现在我们终于可以长长的出一口气,让自己放松下来。

任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明为真,也不能被证明为否。

第二不完备性定理

如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

就是这样简单的语句,它的威力却让很多数学家叹息。哥德尔让大数学家希伯特的“公理完备性”计划彻底流产。悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:“上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。”

可能看到这里,不熟悉的人,并没有意识到哥德尔不完备性定理的魅力。

我给你答案

——灵遁者

你如何证明自己是个男人?你如何证明自己是个女人?这个乍一听,是个很傻的提问。但很多很傻的问题,引出了很多不可思议的的理论。

正如牛顿问:“苹果为什么是向下落的?”爱因斯坦问:“如果我能以光速运动,看待周围的事物,会发生什么呢?”魏格纳躺在床上问:“世界地图的轮廓怎么那么相像?”

所以当一个人在生活中提出了一个看似很傻的问题,请大家不要喷,对他要宽容。

吃瓜群众的困惑,和当年罗素的困惑是一样的。比如有这样一句话,让你判断真假。“我的这句话是假的。”你会怎么判断?这就是说谎者悖论。提出者是西元前6世纪克里特哲学家埃庇米尼得斯。

即使过了几千年,这句话依然困扰者很多智者。罗素就是其中一位。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在190年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

有趣的是罗素也提出了一个罗素悖论。说的是有个理发师,他的广告词是这样:“本人的理发技艺十分高超。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示欢迎!”

我们的问题是:“理发师应该给自己刮脸吗?”“包含一切集合的集合存在吗?”这些看似奇怪的问题,折磨了我们几千年。

直到哥德尔出现,问题才有了答案。答案是——不能证明!也就是说包含一切集合的集合的存在证明,不能给出!但哥德尔证明了,不能给出!

你如何证明自己是个男人或者女人?是个逻辑问题。倘若世界上只有男人,你如果证明自己就是男人。

伟大的数学家哥德尔给出了答案。男人要想证明自己是男人,不能从男人本身来证明,是从女人出发。

今天我想跟大家聊聊哥德尔。美国《时代》杂志曾评选出0世纪100个最伟大的人物,在数学家中,排在第一的不是别人,就是哥德尔!

哥德尔以其惊人的才智,提出了哥德尔不完备性定理。而哥德尔不完备性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化,引发了许多富有挑战性的问题,而且还涉及哲学、语言学和计算机科学,甚至宇宙学。

哥德尔定律的基本表述为:第一不完备性定理

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