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我给你答案 (第2/5页)

哥德尔定律的基本表述为:第一不完备性定理

任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明为真,也不能被证明为否。

第二不完备性定理

如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

就是这样简单的语句,它的威力却让很多数学家叹息。哥德尔让大数学家希伯特的“公理完备性”计划彻底流产。悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:“上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。”

可能看到这里,不熟悉的人,并没有意识到哥德尔不完备性定理的魅力。

吃瓜群众的困惑,和当年罗素的困惑是一样的。比如有这样一句话,让你判断真假。“我的这句话是假的。”你会怎么判断?这就是说谎者悖论。提出者是西元前6世纪克里特哲学家埃庇米尼得斯。

即使过了几千年,这句话依然困扰者很多智者。罗素就是其中一位。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在190年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

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